Serie Enseñando a aprender

Uno de los principales objetivos de la enseñanza de la matemática, ha sido desarrollar en los estudiantes ciertos niveles de experticia que les permitan resolver problemas de manera eficiente, particularmente aquellos de naturaleza verbal. En tal sentido, tanto la enseñanza como el aprendizaje de la matemática han constituido una preocupación constante de los docentes, los padres y representantes, los estudiantes y los administradores de la educación, no solamente en nuestro país sino también en otros países del mundo. En los Estados Unidos, por ejemplo, uno de los seis objetivos educacionales para el año 2000 es lograr que los estudiantes norteamericanos ocupen el primer lugar, a nivel mundial, en las áreas de matemática y ciencia (Departamento de Educación, Oficina de Investigación Educativa y de Mejoramiento, 1991, pp. 3-4, citado en Mayer, 1992).

En nuestro país, han sido innumerables los esfuerzos por superar las deficiencias de nuestros estudiantes, particularmente en el campo de la matemática. Tales esfuerzos han sido desarrollados desde el Centro Nacional para el Mejoramiento de la Ciencia (CENAMEC), institución que se ha dedicado por más de veinticinco años a la realización de actividades dirigidas a docentes y estudiantes de los diferentes niveles de nuestro sistema educativo, con el fin de mejorar la calidad de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, además de otras áreas del saber.

Los resultados de diversos estudios realizados han permitido determinar las dificultades de los estudiantes al resolver problemas. Entre ellas se pueden mencionar las siguientes:

Estos hallazgos han constituido el centro de la preocupación por parte de todos aquellos involucrados en la enseñanza de la matemática y se ha concluido que ellos son la causa, en primer lugar, del fracaso consistente y generalizado por parte de los estudiantes en la adquisición de las habilidades matemáticas requeridas en los diferentes niveles del sistema educativo; en segundo lugar, de la dificultad evidente para realizar todas aquellas actividades que impliquen procesos de naturaleza matemática y/o algebraica; en tercer lugar, del desconocimiento de la importancia de la matemática para la vida cotidiana y otras disciplinas; y finalmente, del desconocimiento de que la matemática no sólo constituye un área específica del conocimiento sino que está vinculada con la estructura de pensamiento de los individuos.

El área de la resolución de problemas, específicamente en el campo de la matemática, ha sido objeto de interés por las diferentes corrientes del pensamiento que han dominado la teoría y la práctica educativa. Durante muchos años, el enfoque asociacionista enfatizó los principios generales del aprendizaje, particularmente la ley del efecto y la ley del ejercicio. Tanto la ejercitación como la práctica han tenido un papel fundamental en la historia de la enseñanza de la matemática, especialmente, en la aritmética. En un momento fue el medio principal de instrucción, sin embargo, hoy en día, ambas forman parte del currículo de matemática, aunque acompañadas de experiencias concretas y explicaciones de los principios matemáticos subyacentes.

Desde el punto de vista del enfoque cognoscitivo, sin embargo, se ha enfatizado el papel del razonamiento que permite al sujeto que resuelve el problema, comprenderlo, diseñar un plan, llevarlo a cabo y supervisarlo (Mayer, 1992). Este enfoque, según Schoenfeld (1985), representa un cambio de énfasis en la enseñanza de la matemática ya que en vez de preguntar “¿cuáles procedimientos debe dominar el aprendiz?”, la pregunta debe ser: “¿qué significa pensar matemáticamente?”. En vez de enfatizarse el producto de la resolución del problema (obtener un resultado correcto), este enfoque sugiere enfatizar el proceso de resolución (qué sucede en la mente del estudiante cuando resuelve un problema).

Problemas de naturaleza verbal

Existe consenso entre los investigadores en relación con la dificultad que presentan los problemas aritméticos expresados en palabras, es decir, de naturaleza verbal (Hegarty, Mayer y Monk, 1995).

Las teorías sobre la comprensión del lenguaje (Kintsch y van Dijk, 1978; Norman y Rumelhart, 1975) son congruentes con los estudios sobre la estructura textual específica de problemas de tipo verbal. Estos estudios han evidenciado que estos problemas, en aritmética o en álgebra, deben tratarse como un género especial de texto que utiliza el conocimiento del lenguaje del sujeto pero que, en contextos matemáticos, requiere una interpretación especial. Los autores señalan que es la complejidad del texto, más que las operaciones matemáticas involucradas, lo que influye en el procesamiento del problema.

Carpenter (1985) encontró que las principales variables son de naturaleza lingüística, es decir, variables de naturaleza sintáctica o semántica. Entre las variables sintácticas se encuentran el número de palabras, la secuencia de la información y la presencia de algunas palabras claves que puedan sugerir la realización de alguna operación matemática. Sin embargo, este autor considera que las variables semánticas son más importantes porque determinan los procesos utilizados por los aprendices en la resolución de problemas aritméticos de tipo verbal.

Resolver este tipo de problema implica construir una representación de las palabras del problema y encontrar la solución utilizando las reglas de la aritmética o del álgebra. Una de las dificultades que presentan los individuos en la resolución de problemas de tipo verbal parece ser la representación del problema, es decir, salirse del lenguaje (palabras, frases, oraciones) del problema a una representación mental coherente del mismo. Un subcomponente importante en el proceso de representación para problemas de tipo verbal es la traducción de cada oración. Existe cierta evidencia que señala que la habilidad para traducir proposiciones incrementa con la edad.

Otro aspecto en la representación de problemas de tipo verbal es reconocer tipos de problemas. El estudio de Greeno (1980) señala que los niños aprenden a categorizar problemas en tipos, es decir, adquieren lo que se ha denominado “esquemas de problemas”, y en consecuencia, pueden decidir cuál operación matemática realizar para alcanzar la solución del problema.

Hinsley, Hayes y Simon (1977) encontraron que a medida que los estudiantes leen las primeras palabras del enunciado de un problema, tienden a tomar una decisión en relación con el tipo de problema que es. Estos autores pidieron a estudiantes universitarios clasificar diferentes tipos de problemas en categorías. Los resultados permitieron identificar dieciocho categorías, tales como trabajo, movimiento, interés, triángulos, etc. Los sujetos pudieron realizar la tarea de clasificación de los problemas evidenciándose de esta manera que poseen esquemas para problemas de tipo verbal.

Por su parte, Mayer (1981) analizó los problemas de tipo verbal de varios textos de álgebra y encontró cien tipos de problemas básicos. Algunos eran muy comunes (diez veces por cada mil problemas), mientras que otros eran muy poco frecuentes o muy raros (una vez por cada mil problemas). En un estudio posterior, este autor pidió a los estudiantes que leyeran y trataran de recordar una serie de problemas de tipo verbal. Los problemas con alta frecuencia generaron un nivel de recuerdo más elevado que los de baja frecuencia.

Desde el inicio de la década de los ochenta, varios autores se han dedicado al estudio de la estructura semántica de problemas aritméticos verbales. Carpenter y Moser (1984) clasificaron estos problemas en términos de cuatro operaciones básicas: cambiar, combinar, comparar e igualar. Las cuatro operaciones determinan cuatro tipos de problemas cuyo nivel de dificultad diferirá dependiendo de la operación requerida (Ver Cuadro 3).

Los problemas de cambio se caracterizan por la presencia de una acción implícita o explícita que modifica una cantidad inicial y pueden resolverse “juntando” o “separando” objetos. En el caso de un problema que implique cambio juntando objetos, hay una cantidad inicial y una acción directa o implícita que causa un incremento en su cantidad. Cuando el cambio es separando objetos, existe un conjunto dado y un subconjunto que debe ser removido del conjunto mayor produciendo un decremento. En ambos casos, los cambios ocurren en el tiempo. Existe una condición inicial (C1) la cual es seguida de un cambio (C2) que produce un resultado final (C3). (Ver Cuadro 3 para los ejemplos que ilustran este tipo de problema).

Cuadro 3
Clasificación de problemas de tipo verbal según Carpenter y Moser (1984)

JUNTAR CAMBIAR	SEPARAR CAMBIAR
a) Connie tenía 5 metras. Jim le dio 8 más. ¿Cuántas metras tiene Connie en total?	b) Connie tenía 13 metras. Le dio 5 a Jim. ¿Cuántas metras le quedan?
c) Connie tiene 5 metras. ¿Cuántas metras más necesita para tener 13?	d) Connie tenía 13 metras. Le dio algunas a Jim y ahora le quedan 8. ¿Cuántas metras le dio Connie a Jim?
e) Connie tenía algunas metras. Jim le dio 5 más y ahora tiene 13 metras. ¿Cuántas metras tenía Connie al principio?	f) Connie tenía algunas metras. Le dio 5 a Jim. Ahora le quedan 8. ¿Cuántas metras tenía Connie al principio?
COMBINAR	COMBINAR
g) Connie tiene 5 metras rojas y 8 azules. ¿Cuántas metras tiene en total?	h) Connie tiene 13 metras. Cinco son rojas y el resto es azul. ¿Cuántas metras azules tiene Connie?
COMPARAR	COMPARAR
i) Connie tiene 13 metras y Jim tiene 5. ¿Cuántas metras más tiene Connie que Jim?	j) Connie tiene 13 metras y Jim tiene 5. ¿Cuántas metras menos tiene Jim que Connie?
k) Jim tiene 5 metras. Connie tiene 8 más que Jim. ¿Cuántas metras tiene Connie?	l) Jim tiene 5 metras. El tiene 8 metras menos que Connie. ¿Cuántas metras tiene Connie?
m) Connie tiene 13 metras. Ella tiene 5 metras más que Jim. ¿Cuántas metras tiene Jim?	n) Connie tiene 13 metras. Jim tiene 5 metras menos que Connie. ¿Cuántas metras tiene Jim?
IGUALAR	IGUALAR
o) Connie tiene 13 metras. Jim tiene 5. ¿Cuántas metras tiene que ganar Jim para tener tantas metras como Connie?	p) Connie tiene 13 metras. Jim tiene 5. ¿Cuántas metras tiene que perder Connie para tenertantas metras como Jim?
q) Jim tiene 5 metras. Si él gana 8, tendrá el mismo número de metras que tiene Connie. ¿Cuántas metras tiene Connie?	r) Jim tiene 5 metras. Si Connie pierde 8 metras, tendrá tantas metras como Jim. ¿Cuántas metras tiene Connie?
s) Connie tiene 13 metras. Si Jim gana 5 metras, tendrá tantas como Connie. ¿Cuántas metras tiene Jim?	t) Connie tiene 13 metras. Si ella pierde 5, tendrá tantas metras como Jim. ¿Cuántas metras tiene Jim?

En los problemas de cambio, ya sea éste “juntando” o “separando” objetos, se presentan tres modalidades. En la primera, se da la cantidad inicial y la magnitud del cambio y el sujeto debe obtener el resultado (Connie tenía 5 metras. Jim le dio 8 más. ¿Cuántas metras tiene Connie en total?). En la segunda, se conoce la cantidad inicial y el resultado y el sujeto debe obtener la magnitud del cambio (Connie tiene 5 metras. ¿Cuántas metras más necesita para tener 13?). En la tercera modalidad, se desconoce la cantidad inicial y se dan los otros elementos (Connie tenía algunas metras. Jim le dio 5 más y ahora tiene 13 metras. ¿Cuántas metras tenía Connie al principio?).

En los problemas de combinación se proponen dos cantidades que pueden considerarse aisladamente o como partes de un todo, sin que exista ningún tipo de acción. Los problemas de combinación pueden ser de dos tipos: en el primero se dan dos conjuntos y se pregunta por el resultado (Connie tiene 5 metras rojas y 8 azules. ¿Cuántas metras tiene en total?); en el segundo, se da la cantidad de un conjunto y la cantidad total resultante, y se pregunta por la cantidad del otro conjunto (Connie tiene 13 metras. 5 son rojas y el resto es azul. ¿Cuántas metras azules tiene Connie?).

Los problemas de comparación presentan la relación entre dos cantidades distintas, ya sea para establecer la diferencia entre ellas o para hallar una cantidad desconocida a partir de una conocida y la relación entre ellas. Una de las cantidades cumple funciones de “referente” y la otra funciones de “comparado” (Jim tiene 5 metras. Connie tiene 8 metras más que Jim. ¿Cuántas metras tiene Connie?). El tercer elemento del problema es la diferencia o la cantidad que excede entre ambos conjuntos. Cada uno de los elementos puede servir de incógnita. Los problemas de igualación, por su parte, contienen elementos de los problemas de comparación y de cambio. En ellos se presenta una acción implícita basada en la comparación de dos cantidades distintas. (Para los ejemplos, ver Cuadro 3).

Hegarty, Mayer y Monk (1995) se han dedicado a examinar las razones por las cuales algunos estudiantes tienen éxito al resolver problemas de naturaleza verbal —particularmente aquellos que contienen enunciados de tipo relacional, es decir, oraciones que expresan una relación numérica entre dos variables— encontrando que el proceso de comprensión ocupa un papel importante en la resolución de este tipo de problema.

Estos autores señalan que existen dos maneras de abordar tales problemas por parte de los solucionadores: el enfoque directo y el enfoque significativo.

En el enfoque directo, el solucionador de problemas selecciona los números y los términos claves de tipo relacional en el enunciado del problema (por ejemplo, “más”, “menos”) y desarrolla un plan de resolución, el cual involucra la combinación de los números en el problema, utilizando las operaciones aritméticas destacadas por las palabras claves; por ejemplo, adición, si la palabra clave es “más” o sustracción, si la palabra clave es “menos”. De esta manera, el solucionador intenta traducir directamente las proposiciones claves en el enunciado del problema a un conjunto de operaciones de cálculo que generarán una respuesta y no construye una representación cualitativa de la situación descrita en dicho enunciado. Se ha encontrado que este enfoque es bastante utilizado por los solucionadores menos exitosos. Este método también ha recibido el nombre de “calcule primero y piense después” (Stigler et al, 1990) y como el “método de la palabra clave” (Briars y Larkin, 1984).

En el enfoque significativo, el solucionador de problemas traduce el enunciado del problema a un modelo mental de la situación descrita en él. Este modelo mental se convierte, entonces, en la base para la construcción del plan de resolución.

Mayer (1992) resalta la utilidad de diferenciar entre los procesos involucrados en la construcción de una representación de un problema y los implicados en su resolución, ya que la investigación cognoscitiva en el aprendizaje de la matemática algunas veces enfatiza los procesos, tales como, procedimientos de cálculo y estrategias de resolución.

En este sentido, Hegarty, Mayer y Monk (1995) proponen que el proceso de comprensión involucrado en los problemas de naturaleza verbal abarca las siguientes fases: 1) construcción de un texto base, 2) construcción de una representación matemática y 3) construcción de un plan de resolución.

Etapa 1: Construcción de un texto base

Esta etapa supone que el texto en un problema matemático se procesa por pasos. En cada paso el solucionador lee una oración, es decir, una cláusula que expresa un trozo de información acerca de una de las variables o valores en el problema. En la construcción del texto base, el solucionador debe representar el contenido proposicional e integrarlo con la otra información en su representación del problema. En este proceso, el solucionador puede utilizar conocimiento de los tipos de enunciados que ocurren en problemas matemáticos (Mayer, 1981). Este incluye: asignaciones que expresan un valor para una variable, relaciones que expresan la relación cuantitativa entre dos variables y preguntas que expresan que se desconoce el valor de una determinada variable. Por ejemplo: En el supermercado “A” la margarina cuesta Bs. 65 la panelita. Esto es 5 bolívares menos que en el supermercado “B”. Si usted necesita comprar 4 panelitas de margarina, ¿cuánto le costará comprarlas en el supermercado “B”?

Asignación 1: Costo de la panelita de margarina en el supermercado “A”, Bs. 65.

Relación: Costo de la margarina en el supermercado “B”, 5 bolívares más que en el supermercado “A”.

Asignación 2: Margarina que usted necesita, 4 panelitas.

Pregunta: Costo total de la margarina en el supermercado “B”.

Etapa 2: Construcción de una representación matemática

En esta segunda etapa de comprensión, el solucionador es guiado por el objetivo de resolver un problema matemático y construye una representación. Es en esta etapa que los solucionadores se diferencian porque escogen un enfoque diferente: el directo o el significativo.

En el enfoque directo, esta segunda etapa consiste en que el solucionador toma la decisión de si el enunciado procesado contiene un hecho clave, por ejemplo, un número como 65 o una palabra clave como “más” o “menos” en el enunciado del problema sobre las panelitas de margarina. En el enfoque significativo, los solucionadores intentan construir un modelo del problema y modifican el formato de su representación: de una basada en proposiciones a otra basada en objetos.

Etapa 3: Construcción de un plan de resolución

Una vez que el solucionador ha representado la información que cree relevante para la resolución del problema, está listo para planificar los cálculos aritméticos necesarios para resolverlo. En el caso del problema sobre el precio de las panelitas de margarina, el plan correcto es primero añadir 5 bolívares al precio de las panelas en el supermercado “A” y entonces multiplicar el resultado de este cálculo por cuatro. Un solucionador que utilice el enfoque directo basará su resolución en palabras claves como “menos” y en los números del problema. Debido a que “menos” se asocia con la sustracción, el solucionador probablemente generará una solución incorrecta, esdecir, restará 5 bolívares del precio de la panelita de margarina, en lugar de añadírselos.

Para concluir esta sección, es conveniente señalar lo siguiente: los problemas aritméticos de naturaleza verbal son más difíciles de resolver que los presentados en forma matemática, porque demandan del sujeto solucionador del problema el desarrollo de otros procesos diferentes a los del cálculo y la ejecución. Los problemas de naturaleza verbal, como sugieren Hegarty, Mayer y Monk (1995), implican la construcción de un texto base a partir del procesamiento del enunciado del problema, la construcción de una representación matemática, es decir, salirse del lenguaje del problema y utilizar las reglas de la aritmética o del álgebra y, finalmente, la construcción de un plan de resolución que permita obtener la solución del problema.

Estrategias de adición

Existen tres niveles de estrategias para realizar adiciones y sustracciones: modelamiento directo con objetos o con los dedos, conteo de secuencias y hechos numéricos.

En las operaciones de sumas realizadas por modelamiento directo, los niños utilizan la estrategia de contar todos. Esta estrategia consiste en utilizar objetos (palitos, granos, entre otros) o los dedos como formas para representar los elementos de los conjuntos. Seguidamente, se comienza a contar todos y cada uno de los elementos de ambos conjuntos unidos. Contar todos los elementos es una estrategia temprana que utiliza el niño. Por ejemplo, para un problema como M + N = ? (3 + 2 = 5), la estrategia del niño es comenzar desde cero, luego incrementar M veces y luego N veces. Diversos estudios realizados han encontrado que un alto porcentaje de niños, entre 6 y 8 años, utilizan esta estrategia la mayor parte del tiempo.

Teóricamente, existen dos formas posibles para desarrollar esta estrategia. Una vez que los conjuntos son construidos, el niño físicamente puede juntar los dos conjuntos y, cuando están unidos, comenzar a contar las unidades; o puede comenzar a contarlas sin unir físicamente los conjuntos. Algunos niños utilizan diversas formas de organización de los elementos, pero estos arreglos no reflejan cambios en la estrategia.

El segundo nivel lo constituye el conteo hacia adelante, es decir, contar partiendo del primer sumando o del sumando mayor. Esta estrategia es más eficiente y menos mecánica que la de modelamiento directo. El niño se ha dado cuenta de que no es necesario construir la secuencia completa para contar. Contar hacia adelante es una estrategia más sofisticada que la estrategia de simple conteo. Para un problema del tipo M + N = ?, la estrategia es comenzar con M y luego incrementar N veces (contar a partir del primer sumando). Por ejemplo, para 4 + 3 = ?, el niño comienza por “cuatro” y luego cuenta “cinco, seis, siete”, la respuesta es “siete”.

La resolución de problemas aritméticos no sólo se obtiene por modelamiento o por conteo. Los niños aprenden una cantidad de hechos numéricos tanto en la escuela como fuera de ella y los aplican para resolver problemas diferentes. El estudiante memoriza una respuesta para cada problema simple, tal como 4 es la respuesta a 2 + 2. Hechos de esta naturaleza son aprendidos incluso antes de estudiar la tabla de sumar y se han denominado hechos numéricos conocidos.

La etapa de los hechos derivados se refiere a la fase en la cual el estudiante utiliza el conocimiento de algunos hechos numéricos para obtener la respuesta a problemas. Por ejemplo, para el niño que aprendió que 6 + 6 = 12, su recuperación es prácticamente automática. Si posteriormente debe resolver 6 + 8 = ?, lo podrá resolver de la manera siguiente: 6 + 8 = 6 + (6 + 2 ) = (6 + 6) + 2 = 12 + 2 = 14. Otra manera sería que el alumno ya sabe que 6 + 6 es igual a doce y que para llegar a catorce le faltan dos, así, cuenta doce más uno = trece, más uno = catorce.

Suppes y Groen (1967) propusieron cinco modelos sobre cómo los niños suman dos conjuntos por conteo. La X en cada modelo representa la variable repetida en el conteo.

Estrategias de sustracción

En las operaciones de sustracción se dan básicamente los mismos niveles que para la adición: modelamiento directo utilizando objetos o los dedos, conteo y recuperación a partir de hechos numéricos. En relación con los dos primeros niveles, los niños pueden utilizar diversas estrategias como las descritas en el cuadro 5.

La estrategia “separar de” implica un proceso de sustracción. En primer lugar, se representa la cantidad mayor (minuendo) y, posteriormente, se le quita la cantidad menor (sustraendo). La respuesta se obtiene contando los objetos no separados del conjunto mayor.

Las estrategias de conteo son paralelas a las estrategias por modelamiento directo. La diferencia más importante es que en el modelamiento el niño realiza las operaciones manipulando objetos. Los objetos concretos le brindan más seguridad en el desarrollo de las operaciones, pero el proceso cognoscitivo es similar. En el nivel de conteo, la estrategia paralela a “separar de” es “contar hacia atrás a partir de”. El niño toma como punto de partida el número mayor y de allí comienza a contar hacia atrás. Por ejemplo, 8 – 4 = ?, el niño comienza con 8, menos uno 7, menos uno 6, menos uno 5, menos uno 4. La respuesta es 4. Esta secuencia contiene tantas denominaciones (nombres de números) como indica el número menor (sustraendo). El último número de la secuencia es la respuesta.

La estrategia “separar a” es muy similar a la estrategia “separar de”, exceptuando que en la primera se van removiendo del conjunto mayor todos los elementos necesarios hasta igualar el número de objetos no removidos con el número de elementos contenidos en el conjunto menor. La respuesta se obtiene contando el número de elementos removidos.

El último par de estrategias involucra adición. El niño comienza con la cantidad menor y va sumando hasta construir el conjunto mayor. Cuando se trabaja con objetos concretos, el niño coloca un número de objetos igual al número menor dado y va añadiendo objetos al conjunto, uno cada vez, hasta que el conjunto sea igual al número mayor. Contando el número de objetos añadidos se obtiene la respuesta.

La estrategia paralela de conteo se denomina “contar hacia adelante a partir de un número dado”, en la cual el niño comienza a contar hacia adelante partiendo del número menor. La secuencia finaliza cuando se alcanza el valor del número mayor. La respuesta se obtiene contando el número de palabras de la secuencia. Por ejemplo, 7 – 3 = ?; tres más uno 4, más uno 5, más uno 6, más uno 7. La respuesta es 4.

Las estrategias de adición y sustracción analizadas representan diversos grados de abstracción. Por ejemplo, las estrategias de modelamiento directo con objetos es un nivel de estrategias relativamente primitivo y de naturaleza concreta que corresponde, según Piaget, a los primeros estadios de desarrollo de la inteligencia. Sin embargo, las estrategias de conteo requieren habilidades que implican la representación del mundo de lo concreto y, por lo tanto, se trata de un nivel más sofisticado.

Esta diferencia entre los niveles y las estrategias propiamente dichas determinará que los niños, dependiendo de su nivel de desarrollo intelectual, maduración, edad, entre otros factores, utilicen una u otra para resolver problemas aritméticos y algebraicos.

Los resultados de investigaciones realizadas señalan que los niños menores tienden a utilizar estrategias de naturaleza concreta (modelamiento directo con objetos o dedos), ya que les permite seguir, con mayor confianza, la secuencia de conteo y chequear el proceso varias veces. Los niños mayores tienden a utilizar estrategias más eficientes en términos de tiempo. Igualmente, los niños cambian las estrategias varias veces durante el proceso de adquisición de una determinada habilidad aritmética o algebraica (Goldman, 1989).

Los niños inician sus procesos de adición con la estrategia de “contar todos”, es decir, representan los dos sumandos mediante objetos o dedos y, posteriormente, cuentan todos los elementos de los conjuntos uno a uno. Una vez adquirida dicha estrategia, los niños recurren a las de conteo, consistentes en contar el segundo sumando partiendo del primero. Una vez consolidada esta estrategia, se encuentran preparados para utilizar otros procedimientos más sofisticados como el Modelo Min, el cual asume que el niño selecciona el sumando mayor y le suma el menor.

En la descripción de los cambios ocurridos durante el desarrollo de los niños, Siegler y Shrager (1983) sugieren una estrategia de selección la cual depende de las características de los individuos. La propuesta supone que los niños, en una primera instancia, tratan de resolver los problemas por recuperación de hechos numéricos almacenados en su memoria. Si este procedimiento no les resulta eficiente, vuelven a intentar resolverlo por el mismo procedimiento de recuperación. Si en este segundo intento fracasan, prueban una estrategia diferente como, por ejemplo, alguna estrategia de conteo. De esta manera, los modelos de conteo se utilizan sólo cuando la recuperación de los hechos almacenados en la memoria no ha sido eficiente para resolver el problema (Carpenter, 1985).

En términos generales, los resultados de las investigaciones pueden resumirse así: 1) los niños inicialmente ensayan estrategias del tipo “contar todos”, que paulatinamente se van disipando para dar origen a otras más eficientes como “contar hacia adelante” y “recuperar hechos numéricos conocidos”, 2) a pesar de que existe una variabilidad considerable en el uso de las estrategias dependiendo del tipo de problema, la estrategia de “contar hacia adelante” presenta un alto porcentaje de uso y perdura a lo largo de varios niveles de desarrollo en los niños examinados.

Lo ideal es lograr que los niños alcancen un repertorio de hechos numéricos que conforme la base para resolver un buen número de problemas. El acceso directo a los hechos numéricos almacenados en el sistema de memoria, presenta problemas de espacio en la capacidad de la memoria a corto plazo (MCP). Una forma de extender la capacidad de esta memoria es desarrollando automaticidad de la respuesta. En la medida en que ciertos procesos se puedan realizar automáticamente, sin necesidad de prestarle atención directa, habrá más espacio disponible en ella para los procesos que sí requieren atención. Para relacionar la automaticidad con el dominio del cálculo, es necesario distinguir entre dos tipos de tareas aritméticas en las que es común el ensayo y la práctica. Por una parte, están los llamados hechos numéricos, es decir, las combinaciones de números que conforman los bloques básicos de todos los cálculos y que son de cuatro tipos: suma, resta, multiplicación y división. Por otra parte, están los algoritmos o procedimientos de cálculo, estas son las secuencias de operaciones que se realizan utilizando los hechos numéricos para llegar a la resolución de problemas más complejos.

La práctica ayuda a que los hechos numéricos se puedan evocar instantáneamente de la memoria a largo plazo (MLP), permitiendo así que la memoria de corto plazo (MCP) pueda funcionar con mayor eficacia. Lo mismo sucede para el acceso automático de procedimientos memorizados o algorítmicos. Si un individuo tiene que reconstruir el procedimiento sobre cómo cambiar fracciones a su menor denominador común cada vez que los necesita, entonces el espacio disponible en la MCP es ocupado por procesos que podrían ser automáticos mediante una práctica apropiada. Así, entonces, la sugerencia es que al menos ciertas destrezas básicas de cálculo –hechos numéricos y algoritmos– necesitan desarrollarse hasta el punto de convertirse en procesos automáticos, de manera que no compitan por el espacio en la MCP con procesos de alto nivel en la resolución de problemas (Resnick y Ford, 1981).

La funcion del lenguaje

Desde los inicios de la década de los ochenta, Rimoldi (1984) ha venido examinando el papel que tienen las estructuras lógicas y los sistemas simbólicos en la resolución de problemas. Este autor ha examinado los efectos de la edad, el sexo, el nivel socioeconómico, la pertenencia a grupos culturales diferentes, etc. La mayor parte de los estudios señalan, por una parte, la verificación de la hipótesis que establece la relación entre los conceptos de lenguaje y la estructura lógica y, por la otra, que la no resolución de un problema puede deberse a un uso deficiente o al desconocimiento del lenguaje utilizado en el enunciado.

Este aspecto, sin embargo, no ha sido contemplado en toda su dimensión e importancia por los teóricos clásicos del área de resolución de problemas. En efecto, han sido los investigadores de la comprensión del discurso los que han argumentado y estudiado con más énfasis la relación entre el lenguaje, el sistema simbólico y las estructuras de pensamiento. El lenguaje y el sistema de símbolos constituyen el formato básico de información almacenada en la memoria y éste es un conocimiento que permite comprender y representar el problema. Sin control del sistema simbólico es imposible pretender que un individuo opere satisfactoriamente aunque pueda ser capaz de traducir y comprender la estructura subyacente al problema (Kintsch, 1986).

Se ha observado que la mayor parte de los estudiantes, independientemente del nivel de escolaridad, resuelven menos problemas cuando éstos se presentan en forma verbal que cuando se presentan en forma matemática. Se ha comprobado que en muchas situaciones problema, una de las principales dificultades estriba en transformar el estado inicial, formulado en lenguaje natural, al estado formal en lenguaje matemático. Una vez obtenida la transformación y si ésta es correcta, el problema está prácticamente resuelto.

Kintsch (1987) descubrió tres posibles fuentes de error al resolver problemas aritméticos sencillos presentados en forma verbal: 1) mal uso o desconocimiento de estrategias aritméticas, falsas concepciones y fracaso en el procedimiento de conteo, 2) comprensión equivocada del problema, principalmente, por factores lingüísticos, y 3) sobrecarga de elementos en la memoria de corto plazo.

Recientemente, Jitendra y Kameenui (1996) han examinado de manera extensiva los patrones de errores cometidos por los estudiantes cuando resuelven problemas de tipo verbal, con el fin de comprender sus procesos de razonamiento y diseñar los procesos de instrucción correspondientes para remediarlos. Éstos van desde errores simples de cálculo, hasta otros más sofisticados derivados de la teoría del análisis de errores en lectura y el procesamiento de la información.

Los errores de cálculo incluyen varias categorías: operación equivocada, algoritmo defectuoso o incompleto, error de agrupamiento, inversión inapropiada, error de identificación, respuesta al azar o error por descuido. Los basados en el análisis de errores en lectura incluyen: errores en comprensión de lectura, ausencia de destrezas en los procesos de codificación, mientras que los errores derivados del procesamiento de información incluyen: dificultades en el lenguaje, representaciones espaciales, conocimiento inadecuado de conceptos y destrezas pre-requisitos, asociaciones incorrectas o aplicación de estrategias irrelevantes.

Metacognición y resolución de problemas

La investigación en metacognición en el área de resolución de problemas ha tratado de identificar procesos estratégicos que pueden aplicarse a todo tipo de problemas, más que a áreas específicas. Brown (1978) identificó varios procesos estratégicos que los estudiantes deben adquirir para ayudarlos a convertirse en solucionadores efectivos de problemas. Estos son:

En el cuadro 6 se indican los pasos a seguir en la resolución de un problema y las preguntas que el solucionador debe hacerse en cada paso con el fin de llevar a cabo un proceso metacognoscitivo en el transcurso de la resolución (Bañuelos, 1995).

Cuadro 6
Etapas y secuencias para desarrollar conocimiento metacognoscitivo para la resolución de problemas según Bañuelos (1995)

Primero	Comprensión del problema
Comprender el problema	¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible cumplir las condiciones? ¿Son suficientes las condiciones para hallar la incógnita?, ¿Son insuficientes?, ¿Son redundantes?, ¿Son contradictorias? Represente el problema con una figura. Adopte una notación adecuada. Separe las diferentes partes de las condiciones, ¿Puede ponerlas por escrito?
Segundo	Concepción de un plan
Descubrir las relaciones entre los datos y la incógnita. Puede verse obligado a tomar en cuenta problemas auxiliares si no encuentra una relación inmediata. Debe llegar a tener un plan de resolución	¿Se ha encontrado antes con el problema?, ¿Lo ha visto de forma diferente?, ¿Conoce algún problema relacionado?, ¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil? Revise la incógnita. Intente recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual o parecida. ¿Puede replantearse el problema? Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que se relacione con el mismo. ¿Puede imaginarse un problema más sencillo, relacionado con éste?, ¿Algún problema más general?, ¿más particular?, ¿Análogo? ¿Puede resolver alguna parte del problema? Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone la otra parte. ¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita, cómo puede variar? ¿Podría extraer algo práctico a partir de los datos? ¿Puede pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la incógnita esté más próxima a los datos nuevos? ¿Ha utilizado todas las condiciones? ¿Ha tomado en cuenta todos los elementos esenciales que intervienen en el problema?
Tercero	Ejecución del plan
Llevar a cabo un plan	Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso. ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? ¿Puede demostrar que es correcto?
Cuarto	Verificación
Examinar la solución obtenida	¿Puede comprobar el resultado? ¿Puede comprobar el razonamiento? ¿Puede percibirlo a simple vista? ¿Puede utilizar el resultado o el método para algún otro problema?

Modelo 1. X = M + N	Este modelo sugiere que se cuenta tantas veces como la suma de los números dados. Por ejemplo, 2 + 6 = ?, se podría decir: 1, 2; 1, 2, 3, 4, 5, 6, es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. La respuesta es 8.
Modelo 2. X = M	Este modelo sugiere que al sumar, se cuenta el primer número partiendo del segundo sumando. Por ejemplo, 2 + 6 = ?, se podría decir: 6, 7, 8. La respuesta es 8
Modelo 3. X = N	Este modelo sugiere que se cuenta solamente el segundo número partiendo del primer sumando. Por ejemplo, 2 + 6 = ?, se podría decir: 3, 4, 5, 6, 7, 8, es decir, se empieza a contar desde 3. La respuesta es 8.
Modelo 4. X = max (M, N)	Este modelo sugiere que al sumar, se suma el número mayor partiendo del menor.
Modelo 5. X = min (M, N)	Este modelo sugiere que se cuenta el número menor partiendo del mayor.

TIPO	DESCRIPCIÓN
MODELAMIENTO DIRECTO
	Consiste en representar la cantidad mayor usando objetos o dedos. A esta cantidad se le quita la menor. La respuesta es el número de objetos que quedan. Ejemplo: 7 – 4 = ?
	Consiste en separar elementos de la cantidad mayor hasta que queda el número indicado por la cantidad menor. La respuesta se halla contando el número de los elementos separados. Ejemplo: 7 – 4 = ?
	Consiste en representar con objetos la cantidad mayor y luego la menor. A ésta se le añaden los objetos necesarios para que sea equivalente a la cantidad mayor. La respuesta se consigue contando el número de elementos añadidos a la cantidad menor. Ejemplo: 7 – 4 = ?
	Consiste en disponer de dos cantidades de objetos en correspondencia uno a uno. La respuesta se obtiene contando los elementos no emparejados. Ejemplo: 7 – 4 = ?
CONTEO
Contar hacia atrás desdes	Consiste en contar hacia atrás sin ayuda (objetos o dedos) a partir del minuendo tantos pasos como marca la cantidad menor. El último número en la secuencia de conteo es la respuesta. Ejemplo: 7 – 4 = ? Se verbaliza a partir del minuendo (siete), es decir: seis, cinco, cuatro, tres. La respuesta es tres
Contar hacia adelante a partir de un número dado	Consiste en contar a partir del número menor hasta alcanzar el mayor. La respuesta se obtiene contando los números contados para equiparar ambas cantidades. Ejemplo: 7 – 4 = ? Se verbaliza: cinco, seis, siete. Los números contados son tres, por lo tanto, la respuesta es tres.


E	strategias de resolución de problemas

Adquisición y desarrollo de estrategias de resolución de problemas en matemática